Première session, examens à mis parcours
- 2003a : L'examen à mi-parcours de novembre
2003. La première partie porte sur l'utilisation des series de Fourier
pour la résolution d'une équation de la chaleur. Dans la deuxième partie,
le sujet est la résolution de l'équation de la corde vibrante soumis à une
force ponctuelle (dans le temps et l'espace). Il tourne autour des
transformées de Fourier et des distributions. Elle se généralise ensuite
aux forces de formes quelconques : c'est une façon sans le dire d'utiliser
les fonctions de green.
- Un Devoir volontaire à la maison de décembre
2003. On rerésoud le même problème de la corde vibrante, mais en
utilisant les transformées de laplace. Le but est d'abord de montrer le
lien étroit entre les TL et les conditions initiales d'une part, les TF et
les distributions de l'autre.
- 2004a : L'examen à mis parcours de Nomvembre 2004. La
première partie est consacré aux systèmes dits "Sturm-Liouville", c'est à
dire au produit scalaire de fonctions solutions d'une classe d'équations
différentielles de second ordre. Ces résultats sont constemment utilisés en
mécanique quantique. La deuxième partie est consacré aux vibration d'un
pont soumis à une force périodique, en utilisant les série de fourier.
Enfin, quelques petites questions sur les SF en général.
- 2005a : L'examen à mis parcours de Novembre 2005
et son corrigé. La première
partie ressemble beaucoup à l'examen de novembre 2003 : équation de la
chaleur avec des conditions aux limites variables qu'il faut régulariser.
La deuxième partie porte sur les pôlynomes de legendre : une application
concrète de Sturm-Liouville. Enfin une troisième partie pose quelques
petits problèmes sur les séries et transformées de Fourier.
- 2006a : L'examen à mis parcours d'Octobre 2006 et son corrigé. La première partie porte
sur la résonnance d'une corde élastique quand une de ses extrémités est
soumise à une oscillation et se prête très bien à un TP. La deuxième partie
est consacré à la propagation du son dans les cristaux (les phonons) ;
la fin de cette partie donne une indiquation de l'importance de cette
méthode pour la mesure des forces inter-atomiques. Ses deux parties font un
usage extensif des séries de fourier. La dernière partie comporte quelques
exercices triviaux d'espace d'Hilbert qui sera utile aux étudiant quand ils
commenceront la mécanique quantique en deuxième semestre.
- 2007a : L'examen à mis parcours d'Octobre 2007 et son corrigé. Examen assez classique.
Dans la première partie, on calcule le changement de température dans une
barre où l'on injecte de la chaleur par les deux extrémités ; en TF,
résolution d'une équation presque triviale si l'on se souvient de la règle
de translation ; un exercice sur la manipulation des delta de Dirac.
- 2008a : L'examen à mis parcours d'octobre 2008 et son corrigé. Quelques thèmes autour
de la résoltion d'une équation de diffusion avec un terme de dégradation et
flux imposé sur les bords ; L'intensité des tâches dans les cliches de
diffractions (essentiellement un problème lié à la TF des fonctions
périodiques).
- 2009a : L'examen à mis parcours math 351 , Octobre 2009
et son corrigé. L'examen est en
trois partie : le théorème d'échantillonage de Shanon-Nyquist, le flambage
des poutre et la relation entre Fourier et Distribution à travers les
travaux de Dirchlet et Abel. Aussi étrange que cela paraisse, on tombe
parfois en physique sur des séries divergentes que l'on régularise à l'aide
de la technique d'Abel.
- 2010a : L'examen à mis parcours math 351 , Octobre
2010 et son corrigé. L'examen est
en trois partie : Diffusion en milieu fini avec condition aux limites mixte
(Dirichilet d'un côté, Newman de l'autre) ; Diffusion et dégradation en
milieu inifini avec flux constant à x=0 ; la formule de sommation de
Poisson.
Première session, examens final
- 2003b : examens finale de janvier
2004.Utilisation des transformées de Laplace pour étudier les
régulateurs PID et la stabilité d'un écosystème prédateur-proie par le
calcul des perturbations (équations de Lotka-Voltera).
- 2004b : L'examen de janvier 2005 et son corrigé. La première partie porte
sur le calcul de la fonction de Green de l'équation de la chaleur avec un
terme de courant. La deuxième partie est le calcul des transformées de
Laplace des intégrales de Fresnels et l'approximation assymptotique de ces
fonctions pour les temps longs. Enfin, la troisième partie demande de
résoudre l'équation différentielle de Bessel par la méthode des TL (une
version allégée, en réalité).
- 2005b : L'examen finale de décembre 2005 et son corrigé. La première partie
consiste à calculer la solution de l'équation d'onde avec des conditions
initiales les plus générale possible. Cependant, au lieu d'utiliser
l'utilisation simultanée des TL et TF (comme dans le devoir de 2003), les
conditions initiales sont inclues dans l'équation à l'aide des
distributions delta et delta'. La deuxième partie pour sur l'étude des
polynomes de Laguerre en calculant directement leurs TL à partir de leurs
équations différentielles. Enfin, la dernière partie étudie la TL d'une
fonction périodique réctifiée.
- 2006b : L'examen finale de décembre 2006 et son corrigé. La première partie est
dédiée à la résolution de l'équation d'onde en la décomposant en deux EDP
de première ordre. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la
fonction sinus-intégrale qui apparait souvent dans les problèmes de
radiation. Enfin, la troisième partie est consacrée au principe
d'incertitude : l'extension spatiale et l'extension fréquentielle d'une
fonction sont inversement proportionnelle. Le principe est largement
utilisée en mécanique quantique.
- 2007b : L'examen final de Janvier 2008 et son corrigé. Comment les chocs entre
particules redistribuent l'energie, vu à travers l'outil des transformée de
Laplace et de l'optimisation d'une quantité qu'on appelle entropie. Avec un
peu de calcul opératoriel pour montrer que l'opérateur exp(a Lz) est
l'opérateur de rotation autour de l'axe z.
- 2008b : L'examen final de janvier 2008 et son corrigé. (i) Calcul des
perturbation appliqué à un oscillateur chimique autocatalytique ; (ii)
quelques exercices sur les TL ; (iii) obtention des valeurs et
vecteurspropres d'un opérateur à priori compliqué à partir de la
construction de son opérateur jumeau. C'est une technique opératorielle qui
généralise la méthode employée pour obtenir les valeurs propres de
l'oscillateur harmonique.
- 2009b : l'examen final de math 351 et son corrigé. Un exercice
classique sur la manipulation des TL ; un exercice classique sur la
stabilité linéaire d'une équation différentielle ; une manipulation des
commutateur.
- 2010b : l'examen final de
math 351 et son corrigé.
L'examen comportait quatre partie. A : un problème où la
connaire d'une relation de commutation entre trois opérateurs donne accès à
leur valeurs propres, ainsi qu'à celui de la somme de leurs carré, sans
rien connaitre d'autre de ces opérateurs. B : un problème
classique de calcul de TL, appliqué à la fonction créneau périodique (un
problème très similaire avait été donné dans un précédent examen).
C : résolution d'une équation différentielle de second
ordre, avec second membre à l'aide des TL. D : Calcul de
la stabilité marginale dans un puits de potentiel en forme de chapeau
mexicain.
Seconde session
- 2007c : L'examen du deuxième semestre 2008 et son corrigé. Quelques thèmes autour des
systèmes Sturm-Liouville, l'équation de Klein-Gordon en formulation
variationnelle, la relation entre les opérateurs hermitiens en général et
les problèmes de minimisation.
- 2008c : L'examen du deuxième semestre 2009, et son corrigé. Etude d'un système
Sturm-Liouville et l'étude de la fonction d'Airy ; Calcul variationnel
appliqué au mouvement d'une particule relativiste dans un champ
électromagnétique ; calcul d'une intégrale oscillante par la méthode des
résidus.
- 2009c : l'examen final de Math 362 et son corrigé. Cinq problèmes
indépendant balayant l'ensemble du cours (les fonctions orthogonales,
calcul des variations appliquer aux poutres, calcul d'intégrale par la
méthode des résidus).
- 2010c : l'examen final de Math
362 et son corrigé. (Mai
2011)Intégration dans le plan complexe (TL inverse, et intégrale d'une
Bessel) , calcul des variations ( Problème de Jauge en général et la loi de
descartes) et étude des fonctions de Bessel.
Première session, examens de ratrappage
- 2003 b' : : L'examen de juin 2004. Utilisation des
transformés de laplace pour résoudre des équations différentielles
ordinaires avec second membre, calcul des perturbations appliqués appliqué
à l'écologie, et un problème sur la TF des peignes de dirac.
- 2004b' : L'examen de juin 2005
et son corrigé. La question
principale est la résolution de l'équation de diffusion discrète (sur
réseau) à l'aide des Transformées de Laplace et des matrice de
transfert.
- 2005b' : L'examen de la session de juin 2006 et son corrigé. Etude la propagation de
chaleur dans un milieu semi-infini soumis à une condition au bord
périodique. L'exemple typique est la propagation de la chaleur dans la
terre, dont la surface est soumise aux cycles de réchauffement
diurne/nocturne.
- 2008b' : L'examen de rattrapage de math351 et son corrigé. Quelques problèmes
simples de calculs de perturbation et de TF, un exercice un peu plus long
sur la généralité de l'équation de Schrodinger, bien au delà de la
Mécanique Quantique.
- 2009b' : L'examen de seconde session de Math351 et son corrigé. Un calcul de
perturbation appliqué à l'équation de Ricatti ; étude de l'équation de
laguerre par les TL ; compréhension des opérateurs et de leurs dérivée vis
à vis un paramètre.
Cours
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