Cours de Mathématiques supérieures.
FRST
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Première session, examens à mis parcours

  • 2003a : L'examen à mi-parcours de novembre 2003. La première partie porte sur l'utilisation des series de Fourier pour la résolution d'une équation de la chaleur. Dans la deuxième partie, le sujet est la résolution de l'équation de la corde vibrante soumis à une force ponctuelle (dans le temps et l'espace). Il tourne autour des transformées de Fourier et des distributions. Elle se généralise ensuite aux forces de formes quelconques : c'est une façon sans le dire d'utiliser les fonctions de green.
  • Un Devoir volontaire à la maison de décembre 2003. On rerésoud le même problème de la corde vibrante, mais en utilisant les transformées de laplace. Le but est d'abord de montrer le lien étroit entre les TL et les conditions initiales d'une part, les TF et les distributions de l'autre.
  • 2004a : L'examen à mis parcours de Nomvembre 2004. La première partie est consacré aux systèmes dits "Sturm-Liouville", c'est à dire au produit scalaire de fonctions solutions d'une classe d'équations différentielles de second ordre. Ces résultats sont constemment utilisés en mécanique quantique. La deuxième partie est consacré aux vibration d'un pont soumis à une force périodique, en utilisant les série de fourier. Enfin, quelques petites questions sur les SF en général.
  • 2005a : L'examen à mis parcours de Novembre 2005 et son corrigé. La première partie ressemble beaucoup à l'examen de novembre 2003 : équation de la chaleur avec des conditions aux limites variables qu'il faut régulariser. La deuxième partie porte sur les pôlynomes de legendre : une application concrète de Sturm-Liouville. Enfin une troisième partie pose quelques petits problèmes sur les séries et transformées de Fourier.
  • 2006aL'examen à mis parcours d'Octobre 2006 et son corrigé. La première partie porte sur la résonnance d'une corde élastique quand une de ses extrémités est soumise à une oscillation et se prête très bien à un TP. La deuxième partie est consacré à la propagation du son dans les cristaux (les phonons) ; la fin de cette partie donne une indiquation de l'importance de cette méthode pour la mesure des forces inter-atomiques. Ses deux parties font un usage extensif des séries de fourier. La dernière partie comporte quelques exercices triviaux d'espace d'Hilbert qui sera utile aux étudiant quand ils commenceront la mécanique quantique en deuxième semestre.
  • 2007a : L'examen à mis parcours d'Octobre 2007 et son corrigé. Examen assez classique. Dans la première partie, on calcule le changement de température dans une barre où l'on injecte de la chaleur par les deux extrémités ; en TF, résolution d'une équation presque triviale si l'on se souvient de la règle de translation ; un exercice sur la manipulation des delta de Dirac.
  • 2008a : L'examen à mis parcours d'octobre 2008 et son corrigé. Quelques thèmes autour de la résoltion d'une équation de diffusion avec un terme de dégradation et flux imposé sur les bords ; L'intensité des tâches dans les cliches de diffractions (essentiellement un problème lié à la TF des fonctions périodiques).
  • 2009a : L'examen à mis parcours math 351 , Octobre 2009 et son corrigé. L'examen est en trois partie : le théorème d'échantillonage de Shanon-Nyquist, le flambage des poutre et la relation entre Fourier et Distribution à travers les travaux de Dirchlet et Abel. Aussi étrange que cela paraisse, on tombe parfois en physique sur des séries divergentes que l'on régularise à l'aide de la technique d'Abel.
  • 2010a : L'examen à mis parcours math 351 , Octobre 2010  et son corrigé. L'examen est en trois partie : Diffusion en milieu fini avec condition aux limites mixte (Dirichilet d'un côté, Newman de l'autre) ; Diffusion et dégradation en milieu inifini avec flux constant à x=0 ; la formule de sommation de Poisson.
SCND
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Première session, examens final

  • 2003b :   examens finale de janvier 2004.Utilisation des transformées de Laplace pour étudier les régulateurs PID et la stabilité d'un écosystème prédateur-proie par le calcul des perturbations (équations de Lotka-Voltera).
  • 2004b : L'examen de janvier 2005 et son corrigé. La première partie porte sur le calcul de la fonction de Green de l'équation de la chaleur avec un terme de courant. La deuxième partie est le calcul des transformées de Laplace des intégrales de Fresnels et l'approximation assymptotique de ces fonctions pour les temps longs. Enfin, la troisième partie demande de résoudre l'équation différentielle de Bessel par la méthode des TL (une version allégée, en réalité).
  • 2005b : L'examen finale de décembre 2005 et son corrigé. La première partie consiste à calculer la solution de l'équation d'onde avec des conditions initiales les plus générale possible. Cependant, au lieu d'utiliser l'utilisation simultanée des TL et TF (comme dans le devoir de 2003), les conditions initiales sont inclues dans l'équation à l'aide des distributions delta et delta'. La deuxième partie pour sur l'étude des polynomes de Laguerre en calculant directement leurs TL à partir de leurs équations différentielles. Enfin, la dernière partie étudie la TL d'une fonction périodique réctifiée.
  • 2006b : L'examen finale de décembre 2006 et son corrigé. La première partie est dédiée à la résolution de l'équation d'onde en la décomposant en deux EDP de première ordre. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la fonction sinus-intégrale qui apparait souvent dans les problèmes de radiation. Enfin, la troisième partie est consacrée au principe d'incertitude : l'extension spatiale et l'extension fréquentielle d'une fonction sont inversement proportionnelle. Le principe est largement utilisée en mécanique quantique.
  • 2007b : L'examen final de Janvier 2008 et son corrigé. Comment les chocs entre particules redistribuent l'energie, vu à travers l'outil des transformée de Laplace et de l'optimisation d'une quantité qu'on appelle entropie. Avec un peu de calcul opératoriel pour montrer que l'opérateur exp(a Lz) est l'opérateur de rotation autour de l'axe z.
  • 2008b : L'examen final de janvier 2008 et son corrigé. (i) Calcul des perturbation appliqué à un oscillateur chimique autocatalytique ; (ii) quelques exercices sur les TL ; (iii) obtention des valeurs et vecteurspropres d'un opérateur à priori compliqué à partir de la construction de son opérateur jumeau. C'est une technique opératorielle qui généralise la méthode employée pour obtenir les valeurs propres de l'oscillateur harmonique.
  • 2009b : l'examen final de math 351 et son corrigé. Un exercice classique sur la manipulation des TL ; un exercice classique sur la stabilité linéaire d'une équation différentielle ; une manipulation des commutateur.
  • 2010b : l'examen final de math 351 et son corrigé. L'examen comportait quatre partie. A : un problème où la connaire d'une relation de commutation entre trois opérateurs donne accès à leur valeurs propres, ainsi qu'à celui de la somme de leurs carré, sans rien connaitre d'autre de ces opérateurs. B : un problème classique de calcul de TL, appliqué à la fonction créneau périodique (un problème très similaire avait été donné dans un précédent examen). C : résolution d'une équation différentielle de second ordre, avec second membre à l'aide des TL. D : Calcul de la stabilité marginale dans un puits de potentiel en forme de chapeau mexicain.
THRD
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Seconde session

  • 2007c : L'examen du deuxième semestre 2008 et son corrigé. Quelques thèmes autour des systèmes Sturm-Liouville, l'équation de Klein-Gordon en formulation variationnelle, la relation entre les opérateurs hermitiens en général et les problèmes de minimisation.
  • 2008c : L'examen du deuxième semestre 2009, et son corrigé. Etude d'un système Sturm-Liouville et l'étude de la fonction d'Airy ; Calcul variationnel appliqué au mouvement d'une particule relativiste dans un champ électromagnétique ; calcul d'une intégrale oscillante par la méthode des résidus.
  • 2009c : l'examen final de Math 362 et son corrigé. Cinq problèmes indépendant balayant l'ensemble du cours (les fonctions orthogonales, calcul des variations appliquer aux poutres, calcul d'intégrale par la méthode des résidus).
  • 2010c : l'examen final de Math 362 et son corrigé. (Mai 2011)Intégration dans le plan complexe (TL inverse, et intégrale d'une Bessel) , calcul des variations ( Problème de Jauge en général et la loi de descartes) et étude des fonctions de Bessel.
FRTH
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Première session, examens de ratrappage

  • 2003 b' : : L'examen de juin 2004. Utilisation des transformés de laplace pour résoudre des équations différentielles ordinaires avec second membre, calcul des perturbations appliqués appliqué à l'écologie, et un problème sur la TF des peignes de dirac.
  • 2004b' : L'examen de juin 2005 et son corrigé. La question principale est la résolution de l'équation de diffusion discrète (sur réseau) à l'aide des Transformées de Laplace et des matrice de transfert.
  • 2005b' : L'examen de la session de juin 2006 et son corrigé. Etude la propagation de chaleur dans un milieu semi-infini soumis à une condition au bord périodique. L'exemple typique est la propagation de la chaleur dans la terre, dont la surface est soumise aux cycles de réchauffement diurne/nocturne.
  • 2008b' : L'examen de rattrapage de math351 et son corrigé. Quelques problèmes simples de calculs de perturbation et de TF, un exercice un peu plus long sur la généralité de l'équation de Schrodinger, bien au delà de la Mécanique Quantique.
  • 2009b' : L'examen de seconde session de Math351 et son corrigé. Un calcul de perturbation appliqué à l'équation de Ricatti ;  étude de l'équation de laguerre par les TL ; compréhension des opérateurs et de leurs dérivée vis à vis un paramètre.